% !TeX program = ConTeXt (luatex)
% !TeX encoding = utf8

% Appel au format des sujets Centrale-Supélec
\environment CCSsujet

% Macro obligatoire pour définir le sujet
\Sujet[Epreuve=Mathématiques 2, Filiere=PC, Duree=4 heures]

% Ici quelques macros spécifiques pour simplifier ou faciliter la saisie.
% Toujours commencer ce genre de macro pour une capitale afin d'éviter
% le risque de conflits avec un nom déjà défini

\def\K{{\bbd K}}  % un corps (réels ou complexes)
\def\SysR{{\cal R}} % système de racines

% Ici le début du texte proprement dit
\starttext
\EnTete

% Le titre n'est pas obligatoire. S'il existe, il donne le thème
% général du sujet.
\Titre{Exemple de texte composé avec \ConTeXt}

Les parties \in[systemes de racines] et \in[proprietes de M0] sont
indépendantes.

%******************************************************************************
% PARTIE 1 : SYSTEMES DE RACINES
%******************************************************************************

% Cinq niveaux de division sont définis de T1 à T5 :
%    \Ti[ref]{titre}
% où
% - "i" est le niveau de la division, 1 correspondant aux éléments
%    de plus haut niveau (parties)
% - "ref" est optionnel et correspond à un label permettant de
%    faire référence à cette section à l'aide, par exemple, de \in
% - "titre" est le titre de la section, il peut être vide (indiqué
%    par {}) dans ce cas le numéro est placé du début du paragraphe
%    suivant.

\T1[systemes de racines]{Systèmes de racines}

Les systèmes de racines interviennent dans divers domaines des
mathématiques et en cristallographie.

Le couple $(E,\langle \cdot , \cdot \rangle)$ désigne un espace euclidien de
dimension $n \geq 1$. On note $\lVert \cdot  \rVert$ la norme associée au
produit scalaire $\langle \cdot , \cdot \rangle$. On rappelle qu'une {\em
réflexion} de $E$ est une symétrie orthogonale par rapport à un
hyperplan de $E$. Pour tout élément $\alpha$ non nul de $E$, on note
$\tau_\alpha$ la réflexion de $E$ par rapport à l'orthogonal de la
droite $\Vect(\alpha)$.

\T2{}

Soit $\alpha$ un élément non nul de $E$.
Montrer, pour tout vecteur $x$ de $E$, l'identité :

\startformula
\tau_{\alpha}(x) = x - 2 {\langle \alpha , x \rangle
\over \langle \alpha, \alpha \rangle} \alpha
\stopformula

Pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$, on appelle {\em système de
racines} de $F$ une partie non vide $\SysR$ de $F$ vérifiant les
quatre propriétés suivantes :

\startitemize[n]
\item $\SysR$ est fini, engendre $F$ et ne contient pas le vecteur
nul;

\item pour tout $\alpha$ dans $\SysR$, on a $\tau_{\alpha}(\SysR)=\SysR$;

\item pour tout $\alpha$ dans $\SysR$, les seuls éléments de $\SysR$
colinéaires à $\alpha$ sont $\alpha$ et $-\alpha$;

% Il est possible de donner un label à un élément de liste
% de la même manière qu'à un titre ou une figure.
\item[P4] pour tout couple $(\alpha,\beta)$ dans $\SysR^2$, on a
\startformula
2 {\langle \alpha , \beta \rangle \over \langle \alpha, \alpha \rangle} \in \integers
\stopformula
\stopitemize


\T2{}

On suppose dans cette question que l'espace $E$ est de dimension 1.
Montrer que les systèmes de racines de $E$ sont les ensembles $\{
\alpha, - \alpha \}$, avec $\alpha \in E \setminus \{ 0 \}$.

\T2{}

Dans cette question, l'espace $E$ est de dimension $n \geq 2$. Pour tout
couple $(\alpha,\beta)$ de vecteurs non nuls de $E$, soit
$\theta_{\alpha,\beta}$ l'angle géométrique entre $\alpha$ et $\beta$,
c'est-à-dire l'unique élément de $[0,\pi]$ donné par : $\Vert \alpha
\Vert . \Vert \beta \Vert \cos \theta_{\alpha,\beta} = \langle \alpha,
\beta \rangle$.

\T3{}

Soit $\SysR$ un système de racines de $E$ et soient
$\alpha$ et $\beta$ deux éléments de $\SysR$ non colinéaires.

\T4{}

Montrer, à l'aide de la \in{propriété}[P4], que :

\startformula
2 {\lVert \alpha \rVert \over \lVert \beta \rVert} \left\vert \cos \theta_{\alpha,\beta}  \right\vert 
\cdot 2 \frac{\lVert \beta \rVert}{\lVert \alpha \rVert} \left\vert \cos \theta_{\alpha,\beta} \right\vert \leq 3
\stopformula

\T4{}

On suppose $\lVert \alpha \rVert \leq \lVert \beta \rVert$. Montrer que le
couple $(\alpha,\beta)$ se trouve dans l'une des configurations
recensées dans le tableau ci-dessous (chaque ligne correspondant à une
configuration) :

% Il existe plusieurs package pour composer des tableaux en ConTeXt.
% Nous avons retenu le package TABLE qui s'inspire du html et qui
% permet de nombreuses configurations. Il permet également de
% composer des tableaux sur plusieurs pages avec répétition
% automatique si désiré des haut et bas de colonnes.
% cf http://wiki.contextgarden.net/TABLE

\midaligned{\bTABLE[frame=off,align=middle]
\setupTABLE[c][each][leftframe=on,rightframe=on]
\setupTABLE[r][1][topframe=on,bottomframe=on]
\setupTABLE[r][last][bottomframe=on]
\bTABLEhead
\bTR
	\bTH $\theta_{\alpha,\beta}$ \eTH
	\bTH $\cos \theta_{\alpha,\beta}$ \eTH
	\bTH $\lVert \beta \rVert / \lVert \alpha \rVert$ \eTH
\eTR
\eTABLEhead
\bTABLEbody
\bTR
	\bTD $\pi/2$ \eTD
	\bTD 0       \eTD
	\bTD $\ge 1$ \eTD
\eTR\bTR
	\bTD $\pi/3$ \eTD
	\bTD $1/2$  \eTD
	\bTD 1   \eTD
\eTR\bTR
	\bTD $2\pi/3$ \eTD
	\bTD $-1/2$ \eTD
	\bTD 1   \eTD
\eTR\bTR
	\bTD $\pi/4$ \eTD
	\bTD $\sqrt{2}/2$ \eTD
	\bTD $\sqrt{2}$ \eTD
\eTR\bTR
	\bTD $3\pi/4$ \eTD
	\bTD $-\sqrt{2}/2$ \eTD
	\bTD $\sqrt{2}$ \eTD
\eTR\bTR
	\bTD $\pi/6$ \eTD
	\bTD $\sqrt{3}/2$ \eTD
	\bTD $\sqrt{3}$ \eTD
\eTR\bTR
	\bTD $5\pi/6$ \eTD
	\bTD $-\sqrt{3}/2$ \eTD
	\bTD $\sqrt{3}$ \eTD
\eTR
\eTABLEbody
\eTABLE}

\T3{}

Réciproquement, on suppose qu'un couple $(\alpha,\beta)$ de vecteurs
non colinéaires de $E$ se trouve dans l'une des configurations
recensées dans le tableau ci-dessus. Montrer que le réel

\startformula
2 {\langle \alpha , \beta \rangle \over \langle \alpha, \alpha \rangle}
\stopformula

est un entier relatif ; en préciser la valeur.


\T2[dimension 2]{}

Dans cette question, l'espace $E$ est de dimension $n=2$.
[ \ldots ]


%******************************************************************************
%   PARTIE 2 :  étude de sl2
%******************************************************************************

\T1[proprietes de M0]{Propriétés de ${\cal M}_0(n,\K)$}


Pour tout $A \in {\cal M}(n,\K)$, on définit l'endomorphisme

% L'ennvironnement array de LaTeX et amsmath est remplacé
% par \startmatrix. La définition des colonnes
% reprennent celles du package tabulate
% cf http://dl.contextgarden.net/myway/context-latex-math.pdf
% et http://wiki.contextgarden.net/Tabulate

\startformula
\startmatrix[n=3,align={right,middle,left}]
\NC \Phi_A :  {\cal M}(n,\K)  \NC \longrightarrow \NC {\cal M}(n,\K) \NR
\NC B \NC \longmapsto \NC [A,B] \NR
\stopmatrix
\stopformula


\T2{Généralités}

\T3{}

Montrer que ${\cal M}_0(n,\K)$ est un $\K$-espace vectoriel ; en
préciser la dimension.

\T3{}

Justifier que, pour tout couple $(A,B)$ d'éléments de ${\cal M}(n,\K)$,
la matrice $[A,B]$ appartient à ${\cal M}_0(n,\K)$.


\T2{Un isomorphisme}

Montrer que l'application
\startformula
\startmathmatrix[n=4,align={middle,middle,middle,left}]
\NC j : \NC \K^3 \NC \longrightarrow \NC {\cal M}_0(2,\K) \NR
\NC
\NC
% Les commandes plain TeX comme \matrix sont également utilisables
 \pmatrix{x \cr y \cr z \cr}
\NC \longmapsto
\NC
  \pmatrix{x & y+z \cr y-z & -x \cr}
\NR
\stopmathmatrix
\stopformula

est un isomorphisme de $\K$-espaces vectoriels.

\T2{}

Et voila un petit exemple de figure dessinée avec TikZ.

\placefigure[here]{Démo TikZ}{
\hbox{\starttikzpicture
    % From http://www.texample.net/tikz/examples/
    % Draw axes
    \draw [<->,thick] (0,2) node (yaxis) [above] {$y$}
        |- (3,0) node (xaxis) [right] {$x$};
    % Draw two intersecting lines
    \draw (0,0) coordinate (a_1) -- (2,1.8) coordinate (a_2);
    \draw (0,1.5) coordinate (b_1) -- (2.5,0) coordinate (b_2);
    % Calculate the intersection of the lines a_1 -- a_2 and b_1 -- b_2
    % and store the coordinate in c.
    \coordinate (c) at (intersection of a_1--a_2 and b_1--b_2);
    % Draw lines indicating intersection with y and x axis. Here we use
    % the perpendicular coordinate system
    \draw[dashed] (yaxis |- c) node[left] {$y'$}
        -| (xaxis -| c) node[below] {$x'$};
    % Draw a dot to indicate intersection point
    \fill[red] (c) circle (2pt);
\stoptikzpicture}
}

Elle est placée dans un cadre flottant (invisible) ce qui permet
au texte qui l'entoure de s'adapter s'il n'y a pas assez de place
et ainsi de ne pas laisser des bas de page vides dans le sujet.

Démontrer qu'il est possible de dessiner des figures plus compliquées.

\Fin[line]
\stoptext
